Bez obzira na to hoćete li provjeriti koliko brzo možete napuniti aparat za kavu ili jednostavno odbrojavate korake do autobusnog stajališta ujutro, postoji nešto o monotoniji svakodnevnog života zbog čega je pokušavamo pretvoriti u igru. Stanovnici pruskog grada Konigsberga iz osamnaestog stoljeća (sada, kao što znate, ovo je Kalinjingrad) bili su isti kao i svi mi. Upravo je igra koju su igrali sa sedam mostova u svom gradu izazvala zanimanje jednog od najvećih matematičara u ljudskoj povijesti.
Konigsberg je izgrađen na obali rijeke Pregel (Pregolya) koja je grad podijelila u četiri odvojena stambena područja. Ljudi su se kretali iz jednog područja u drugo kroz sedam različitih mostova. Prema legendi, popularna zabava tijekom nedjeljnih šetnji bila je pokušaj prelaska cijelog grada kako bi svaki most prešao samo jedanput. Nitko nije smislio kako to učiniti, ali to ne znači da problem nema rješenja. Morali su samo otići do pravog stručnjaka da ga upoznaju.
1735. godine gradonačelnik grada Danzig (danas poljski Gdansk), smještenog 120 kilometara zapadno od Konigsberga, Karl Leonard Gottlieb Ehler napisao je Leonardu Euleru pismo s kojim je zatražio pomoć u rješavanju ovog problema u ime lokalnog profesora matematike po imenu Heinrich KUEHN. Još tada, Euler je bio poznati i vrlo uspješan matematičar - objavio je svoju prvu knjigu u roku od godinu dana nakon ovog pisma, a u svom je čitavom životu napisao više od 500 knjiga i članaka.
Stoga nije čudno što je isprva Euler mislio da je ispod njegovog dostojanstva da se bavi tim problemom, pa je u odgovoru napisao: „Dakle, vidite, cijenjeni gospodine, ova vrsta rješenja praktički nema nikakve veze s matematikom, i ne razumijem zašto se bavite takvim zahtjev matematičaru, a ne nekom drugom, jer se odluka temelji samo na zdravom razumu i ne ovisi ni o jednom poznatom matematičkom principu."
Na kraju su, ipak, Ehler i Kühn uspjeli uvjeriti Eulera i on je shvatio da je to potpuno nova vrsta matematike - „geometrija položaja“, danas poznata kao topologija. U topologiji, točan oblik ili mjesto objekta nije važno. Postoji čak i stara šala da topolog ne može utvrditi razliku između krafne i šalice kave, jer oba predmeta imaju točno jednu rupu. Do tada, o tom posve novom području matematike pisalo se samo, ali još nitko nije razumio koje probleme može riješiti. Sedam Konigsberških mostova bila su izvrsna eksperimentalna potvrda nove teorije, budući da problem nije zahtijevao nikakvo mjerenje niti precizne proračune. Možete složenu kartu grada pretvoriti u jednostavan i razumljiv graf (dijagram) bez gubitka važnih podataka.
Iako bi se moglo dogoditi da se problem riješi mapiranjem svih mogućih ruta kroz grad, Euler je odmah shvatio da će ova strategija predugo trajati i da neće raditi s drugim sličnim problemima (što bi bilo, recimo, dvanaest mostova?). Umjesto toga, odlučio se nakratko odmoriti od mostova i zemlju je označio slovima A, B, C i D. Tako je putovanje preko mosta s područja A u područje B mogao opisati kao AB, a putovanje od područja A do područja B D kao ABD. Ovdje je važno napomenuti da će broj slova u opisu rute uvijek biti jedan više od broja pređenih mostova. Dakle, ruta AB prelazi jedan most, a ruta ABD prelazi dva mosta, i tako dalje. Euler je shvatio da budući da u Konigsbergu postoji sedam mostova i kako bi ih sve prešao,ruta se mora sastojati od osam slova, što znači da će za rješenje problema biti potrebno točno osam slova.
Zatim je smislio općenitije pravilo pomoću još pojednostavljene sheme. Ako ste imali samo dva nadzemna odsječka, A i B, i prešli most jednom, tada bi odjeljak A mogao biti tamo gdje je putovanje počelo ili gdje je završilo, ali bili biste u odjeljku A samo jednom. Ako biste prešli mostove a, b i c jedanput, bili biste na dijelu A točno dva puta. To je dovelo do korisnog pravila: ako imate paran broj mostova koji vode do jednog komada zemlje, morate dodati jedan tom broju, a zatim podijelite ukupno dva da biste shvatili koliko puta treba koristiti ovaj odjeljak za vrijeme putovanja. (u ovom primjeru, dodajući jedan na broj mostova, tj. na 3, dobivamo četiri, a podijeleći četiri na dva dobijemo dva,to jest, točno dva puta tijekom putovanja prelazi se presjek A).
Promotivni video:
Taj je rezultat vratio Eulera k njegovom izvornom problemu. Postoji pet mostova koji vode do Odjela A, pa će rješenje s osam slova koje traži morati preći tri puta. Odjeljci B, C i D imaju dva mosta koji vode do njih, tako da svaki mora prijeći dva puta. Ali 3 + 2 + 2 + 2 je 9, a ne 8, iako prema stanju trebate proći samo 8 dionica i preći 7 mostova. To znači da je nemoguće proći kroz cijeli grad Königsberg koristeći svaki most točno jednom. Drugim riječima, u ovom slučaju problem nema rješenja.
Međutim, kao i svaki pravi matematičar, Euler se nije zaustavio na tome. Nastavio je s radom i stvorio je općenitije pravilo za druge gradove s različitim brojem mostova. Ako grad ima neparni broj mostova, tada postoji jednostavan način da saznate možete li takvo putovanje ili ne: ako je zbroj broja pojava svakog slova koji označava komad zemlje jedan veći od broja mostova (kao što je, na primjer, u rješenju s osam slova, oko ranije spomenuto) takvo je putovanje moguće. Ako je zbroj veći od ovog broja, to je nemoguće.
Što je s parnim brojem mostova? U ovom slučaju, sve ovisi o tome gdje započeti. Ako krenete s odjeljkom A i prijeđete preko dva mosta, A se u vašem rješenju pojavljuje dva puta. Ako krenete s druge strane, A će se pojaviti samo jednom. Ako postoje četiri mosta, tada se A pojavljuje tri puta ako je ovaj odjeljak bio početna točka, ili dva puta ako nije. Općenito govoreći, to znači da ako putovanje ne kreće od odjeljka A, mora se preći dvostruko više od broja mostova (četiri podijeljena na dva daju dva). Ako putovanje polazi od odjeljka A, tada se mora presijecati još jednom.
Genijalnost Eulerovog rješenja ne leži čak ni u odgovoru, već u metodi koju je primijenio. Bio je to jedan od najranijih slučajeva upotrebe teorije grafova, također poznat kao teorija mreža, vrlo traženo polje matematike u današnjem svijetu prepunom transportnih, društvenih i elektroničkih mreža. Što se tiče Königsberga, grad je završio s još jednim mostom, što je Eulerovu odluku učinilo kontroverznom, a tada su britanske snage uništile veći dio grada tijekom Drugog svjetskog rata. Danas i grad i rijeka imaju nova imena, ali stari problem živi u potpuno novom polju matematike.
Igor Abramov