Bila sam svojeglavo dijete koje je odrastalo na književnosti i matematikom i znanošću se bavilo kao da mogu zaraziti pošasti. Stoga je prilično čudno da sam kao rezultat toga postao osoba koja se svakodnevno bavi trostrukim integralima, Fourierovim transformacijama i biserom matematike, Eulerovom jednadžbom. Teško je povjerovati da sam se od osobe s doslovno urođenom fobijom prema matematici pretvorio u profesora inženjerstva.
Jednog dana jedan od mojih učenika pitao me kako sam to uspio: kako sam promijenio mozak. Htio sam odgovoriti: "Prokletstvo, bilo je izuzetno teško!" Napokon, nisam se mogao baviti matematikom i prirodnim znanostima u osnovnoj, srednjoj i srednjoj školi. Zapravo, satove matematike počeo sam pohađati tek nakon što sam otpušten iz vojske kad sam imao 26 godina. Da postoji primjer mogućnosti fleksibilnosti u mozgu odrasle osobe, postao bih model br. 1.
Studiranje matematike i znanosti kao odrasla osoba otvorilo mi je vrata u svijet mnogih mogućnosti - inženjerstva. Kroz naporan rad u odrasloj dobi, promjena mozga omogućila mi je da iz prve ruke vidim neuroplastičnost koja je temelj učenja odraslih. Srećom, priprema za doktorsku disertaciju iz sistemskog inženjerstva, povezujući golemu sliku različitih STEM disciplina (znanost, tehnologija, inženjerstvo, matematika), a zatim i moja daljnja istraživanja i rad, usredotočen na strukturu ljudskog mišljenja, pomogao mi je shvatiti ovo drugo otkrića u neuroznanostima i kognitivnoj psihologiji povezana s procesom učenja.
Otkad sam doktorirao, tisuće učenika prošlo je kroz moje ruke, učenici u osnovnoj i srednjoj školi vjerovali su da je sveti talisman razumijevanja matematike aktivna rasprava. Vjeruje se da ako drugima možete objasniti što ste naučili, na primjer, crtanjem slike, onda to razumijete.
Japan je postao divljenje i oponašan primjer ovih aktivnih metoda učenja "razumijevanja". Međutim, o negativnoj strani ovog koncepta ne govori se često: Japan je također postao rodno mjesto Kumonove metode poučavanja matematike koja se temelji na pamćenju, ponavljanju, nabijanju i radu na tome kako dijete svladava gradivo. Ovaj intenzivni izvannastavni program (i drugi slični njemu) s nestrpljenjem su prihvatili roditelji u Japanu i širom svijeta koji nadopunjuju internetsko obrazovanje svoje djece s puno vježbanja, ponavljanja i, da, sofisticiranog nakupljanja kako bi im dali slobodu svladavanja predmeta.
U Sjedinjenim Državama naglasak na razumijevanju ponekad istiskuje drugu stariju metodu koju su koristili (i koristili) znanstvenici: da biste proučavali matematiku i znanost, morate raditi s prirodnim procesom mozga.
Najnoviji val obrazovnih reformi u matematici odnosi se na obvezni školski kurikulum: to je pokušaj postavljanja snažnih, ujednačenih standarda širom Amerike, iako kritičari ističu da se ti standardi ne mogu usporediti sa zemljama s najboljim uspjehom. Barem površno, standardi pružaju razumnu perspektivu. Pretpostavljaju da bi u matematici učenici trebali imati jednako konceptualno znanje, tečnost u vještinama rješavanja problema i sposobnost njihove primjene.
Kvaka, naravno, leži u tome da se stvari odrade. U trenutnoj obrazovnoj klimi, pamćenje i ponavljanje u STEM disciplinama (nasuprot proučavanju jezika ili glazbe) i studenti i nastavnici često smatraju ponižavajućim gubljenjem vremena. Mnogi su učitelji već dugo poučeni da je konceptualno znanje ključno u STEM disciplinama. Doista, učiteljima je lakše uključiti učenike u raspravu o nekoj matematičkoj temi (i ako se pravilno izvedu, to razvija bolje razumijevanje) nego što je zamorno vrednovati izvršene domaće zadaće. Implikacija je da se fluentnost vještina i sposobnost njihove primjene moraju razvijati u jednakoj mjeri s konceptualnim znanjem, a to se vrlo često ne događa. Širenje konceptualnog znanja vlada, posebno tijekom dragocjenih razreda.
Promotivni video:
Teškoća u fokusiranju na razumijevanje je u tome što učenici na satima matematike i prirodoslovlja često mogu shvatiti važnu točku, ali to znanje može brzo izmicati bez utvrđivanja u praksi i ponavljanju. Da stvar bude gora, studenti često misle da nešto razumiju, a zapravo to i ne razumiju. Ističući važnost razumijevanja, učitelji mogu nesvjesno gurnuti svoje učenike prema neuspjehu dok se djeca prepuštaju iluziji znanja. Kao što mi je nedavno rekao jedan student inženjerstva (padajući na ispitu): „Jednostavno ne razumijem kako bih mogao postići tako loš rezultat. Sve sam razumio kad ste objašnjavali na satu. Moj je učenik mogao pomisliti da je tada razumio temu, a možda i jest, ali nikada to znanje nije primijenio u praksi da bi ga stvarno naučio. Nije razvio nikakvu vještinu odlučivanja ili sposobnost da primijeni ono što misli da je već razumio.
Interesantan je odnos između studija matematike i prirodoslovlja i svladavanja sporta. Kad naučite udarati palicom za golf, usavršavate ovaj pokret stalnim ponavljanjem tijekom nekoliko godina. Vaše tijelo zna što treba učiniti kad samo razmislite o tome (cijeli blok), umjesto da se sjetite svih teških koraka koji su potrebni za udaranje lopte.
Na isti način, nakon što shvatite nešto o matematici i znanosti, ne morate si to neprestano objašnjavati svaki put kad naiđete na neku temu. Ne morate sa sobom nositi 25 kuglica, neprestano slažući redove od po pet komada kako biste razumjeli da je 5 × 5 = 25. U nekom trenutku to jednostavno znate napamet. Sjećate se ideje da samo trebate dodati eksponente (mali brojevi napisani na vrhu), a isti broj množite u različitim stupnjevima (104 × 105 = 109). Ako ovaj postupak radite često, rješavajući mnogo različitih vrsta problema, vidjet ćete da dobro razumijete razloge i radnje koje stoje iza postupaka. Razumijevanje se proširuje činjenicom da je vaš mozak izgradio sheme značenja. Stalna usredotočenost na samo razumijevanje zapravo je prepreka.
Sve sam to naučio o matematici i procesu učenja ne u učionicama K-12, već na vlastitom iskustvu, kao dijete, odrastajući čitajući Madeleine Langle i Dostojevskog, studirajući jezik na jednom od vodećih svjetskih sveučilišta, a onda se odjednom pretvorio u profesora inženjerstva.
U mladosti, s talentom za jezike i bez dovoljno novca i vještina, nisam si mogao priuštiti odlazak na fakultet (tada nije bilo govora o zajmovima na fakultetu). Tako sam iz srednje škole otišao ravno u vojsku. Volio sam proučavati strane jezike još u srednjoj školi, a vojska mi se činila mjestom gdje su ljudi plaćali novac za učenje stranih jezika, čak i ako su studirali na prestižnom Vojnom institutu za strane jezike, mjestu gdje je učenje jezika preraslo u znanost. Odabrala sam ruski jer se jako razlikovao od engleskog, ali nije bilo tako teško da sam ga morala proučavati godinama i naučiti ga govoriti na razini četverogodišnjaka. Uz to, Željezna zavjesa mamila je svojom tajnovitošću: odjednom ću moći upotrijebiti svoje znanje ruskog jezika i pogledati,što se krije iza toga?
Nakon odsluženja vojske, počeo sam prevoditi za Ruse koji su radili na sovjetskim koćama u Beringovom moru. Rad za Ruse bio je zabavan i uzbudljiv, plus to je bio pomalo glamurozan posao za migrante. Odlazite na more tijekom sezone ribolova, zarađujete pristojan novac, stalno se usput napijete, a zatim se na kraju sezone vraćate u luku i nadate se da ćete sljedeće godine biti pozvani na posao. Za osobu koja je govorila ruski, postojala je samo jedna alternativa zapošljavanju - raditi u Agenciji za nacionalnu sigurnost (moji prijatelji iz vojske neprestano su mi predlagali ovu opciju, ali nije bila za mene).
Počeo sam shvaćati da je znanje stranog jezika samo po sebi koristan posao, ali s ograničenim potencijalom i brojem prilika. Nitko mi nije odsjekao telefon, nikome nije trebalo moje znanje deklinacija na ruskom jeziku. Osim ako se nisam namjeravao naviknuti na morsku bolest i povremenu pothranjenost na smrdljivim koćama usred Beringovog mora. Cijelo vrijeme sam se sjećao inženjera koji su studirali na West Pointu, s kojima sam radio u vojsci. Njihov matematički i znanstveni pristup rješavanju problema očito je bio koristan u stvarnom svijetu, daleko korisniji nego što bi mi mogle dopustiti moje nezgode s matematikom u mladosti.
Tako sam u 26. godini, napustivši vojsku i tražeći nove prilike, shvatio: ako stvarno želim isprobati nešto novo, zašto ne bih započeo s onim što bi mi moglo otvoriti čitav svijet novih perspektiva? Nešto poput inženjerstva? To je značilo da ću pokušati naučiti potpuno drugačiji jezik - jezik računa.
S mojim lošim razumijevanjem čak i najjednostavnije matematike, moji povojnički napori započeli su restauratorskim podukama iz algebre i trigonometrije. To je bilo znatno ispod nulte razine većine studenata. Ponekad mi se pokušaj reprogramiranja mozga činio smiješnim pothvatom, pogotovo kad sam pogledao mlada lica svojih mlađih kolega iz razreda i shvatio da su oni već napustili svoje teške satove matematike i prirodnih znanosti, pa sam odlučio ići ravno njima u susret. Ali u mom sam slučaju, u svom iskustvu svladavanja ruskog jezika kao odrasla osoba, sumnjao (ili sam se jednostavno nadao) da će u aspektima učenja stranog jezika biti nešto što bih mogao koristiti prilikom savladavanja matematike i znanosti.
Kad sam učio ruski, fokusirao sam se ne samo na razumijevanje jezika, već i na tečnost u govoru. Besplatna uporaba cijelog sustava (u ovom slučaju jezika) zahtijeva blisko poznavanje, što se postiže isključivo ponovljenom i raznovrsnom interakcijom s njegovim elementima. Tamo gdje su se moji školski drugovi zadovoljavali jednostavnim razumijevanjem govornog ili pisanog ruskog, pokušao sam razviti unutarnju, duboku vezu s riječima i strukturom jezika. Nisam se zadovoljio samo značenjem riječi "razumjeti". U praksi sam se služio glagolom: neprestano sam ga konjugirao u različitim vremenima, koristio u rečenicama i, konačno, razumio sam ne samo kada upotrijebiti ovaj oblik glagola, već i kada to ne činiti. Trenirao sam s izazovom brzog prisjećanja svih ovih aspekata i varijacija. Ako ne govorite jezik dobro i netko vam brzo brblja, kao što se to događa u normalnom razgovoru (koji uvijek užasno brzo zvuči kad učite strani jezik), nemate pojma o čemu govorite. zapravo kažu, iako tehnički razumijete svaku riječ pojedinačno i strukturu fraza. Naravno, ni sami ne možete govoriti dovoljno brzo da bi vas izvorni govornici uživali slušati.
Ovim pristupom (usredotočujući se na tečnost umjesto na samo razumijevanje), pretekao sam sve u razredu. Tada to nisam shvaćao, ali ovaj pristup učenju jezika dao mi je intuitivno razumijevanje temeljne osnove učenja i razvijene kompetencije - formiranja blokova.
Formiranje blokova izvorno je razvijeno u revolucionarnom radu Herberta Simona, gdje je analizirao šah: blokovi su viđeni kao različiti neuronski ekvivalenti različitih šahovskih shema. Postupno su neuroznanstvenici shvatili da su stručnjaci poput velemajstora šaha to postigli spremajući tisuće blokova znanja o svom području stručnosti u dugoročno pamćenje. Na primjer, velemajstori se mogu sjetiti na desetke tisuća različitih šahovskih obrazaca. Bez obzira na disciplinu, znalci mogu probuditi u svojoj svijesti jednog ili nekoliko dobro zavarenih, sastavljenih u blok neuronskih potprograma, uz pomoć kojih analiziraju i reagiraju kad se suoče s potrebom za učenjem novih stvari. Razina istinskog razumijevanja, sposobnost korištenja u novim situacijama pojavljuje se samo s tom jasnoćom, razinom znanja,koji mogu pružiti samo ponavljanje, pamćenje i vježbanje.
Kao što su studije provedene među šahistima, liječnicima hitne pomoći i pilotima borcima, u trenucima najvećeg stresa, brza podsvjesna obrada zamjenjuje svjesnu analizu situacije, budući da svi ti stručnjaci na dubokoj razini razvijaju sustav živčanih potprograma, blokova. U određenom trenutku svjesno „razumijevanje“zašto izvodite ovu ili onu radnju služi samo kao prepreka i rezultira ne najuspješnijim odlukama. Kad sam intuitivno shvatila da postoji veza između učenja stranog jezika i učenja matematike, bila sam u pravu. Svakodnevno dugotrajno praktično savladavanje ruskog jezika napunilo je i ojačalo moje živčane veze i postupno sam počeo povezivati blokove znanja jezika koji se sada mogu lako koristiti. Organiziranjem svog učenja u "slojeve" (drugim riječima,vježbajući na takav način da ne samo da sam znao kada upotrijebiti riječ, već i kada je ne smijem upotrijebiti, ili neku drugu njezinu verziju), zapravo sam koristio isti pristup koji primjenjuju stručnjaci iz matematike i znanosti. Dok sam kao odrasla osoba studirala matematiku i inženjerstvo, počela sam koristiti istu strategiju koju sam koristila za učenje stranog jezika. Gledao sam na jednakost, da uzmem najosnovniji primjer, Newtonov drugi zakon f = ma. Obučio sam se u razumijevanju što znači svako slovo: f - gravitacija - znači pritisak, m - tjelesna masa - pružaju svojevrsni otpor mom pritisku i - okrepljujući osjećaj ubrzanja. (Ekvivalent u učenju ruskog bilo je izgovaranje naglas slova ruske abecede). Pamtio sam jednakost tako da mi se to sjela u sjećanje,i mogao sam se igrati s njim. Ako su m i a bili veliki brojevi, kako je to utjecalo na f kad sam ih zamijenio u formuli? Ako je f bilo veliko, a a malo, kako je to utjecalo na m? Kako su se dijelovi jednakosti uklopili? Igranje s jednakošću bilo je poput konjugacije glagola. Počeo sam intuitivno shvaćati da su zamagljeni obrisi jednakosti poput pjesme zasićene metaforama, u kojoj se kriju mnoge lijepe simboličke slike. Iako to u to vrijeme ne bih to nazvao, u stvari, da bih dobro savladao matematiku i znanost, morao sam polako, dan za danom, graditi snažne neuronske "blok" rutine (poput onih koje sam radio s formulom f = ma), tako da mogu lako koristiti informacije iz dugotrajne memorije, kao što sam to radio s ruskim jezikom. Ako su m i a bili veliki brojevi, kako je to utjecalo na f kad sam ih uključio u formulu? Ako je f bilo veliko, a a malo, kako je to utjecalo na m? Kako su se dijelovi jednakosti uklopili? Igranje s jednakošću bilo je poput konjugacije glagola. Počeo sam intuitivno shvaćati da su mutni obrisi jednakosti poput pjesme zasićene metaforama, u kojoj se kriju mnoge lijepe simboličke slike. Iako to u to vrijeme ne bih to nazvao, u stvari, da bih dobro savladao matematiku i znanost, morao sam polako, dan za danom, graditi snažne neuronske "blok" rutine (poput onih koje sam radio s formulom f = ma), tako da mogu lako koristiti informacije iz dugotrajne memorije, kao što sam to radio s ruskim jezikom. Ako su m i a bili veliki brojevi, kako je to utjecalo na f kad sam ih zamijenio u formuli? Ako je f bilo veliko, a a malo, kako je to utjecalo na m? Kako su se dijelovi jednakosti uklopili? Igranje s jednakošću bilo je poput konjugacije glagola. Počeo sam intuitivno shvaćati da su zamagljeni obrisi jednakosti poput pjesme zasićene metaforama, u kojoj se kriju mnoge lijepe simboličke slike. Iako to u to vrijeme ne bih to nazvao, u stvari, da bih dobro savladao matematiku i znanost, trebao sam polako, dan za danom, graditi snažne neuronske "blok" rutine (poput onih koje sam radio s formulom f = ma), tako da mogu lako koristiti informacije iz dugotrajne memorije, kao što sam to radio s ruskim jezikom.kada sam ih zamijenio u formuli? Ako je f bilo veliko, a a malo, kako je to utjecalo na m? Kako su se dijelovi jednakosti uklopili? Igranje s jednakošću bilo je poput konjugacije glagola. Počeo sam intuitivno shvaćati da su mutni obrisi jednakosti poput pjesme zasićene metaforama, u kojoj se kriju mnoge lijepe simboličke slike. Iako to u to vrijeme ne bih to nazvao, u stvari, da bih dobro savladao matematiku i znanost, morao sam polako, dan za danom, graditi snažne neuronske "blok" rutine (poput onih koje sam radio s formulom f = ma), tako da mogu lako koristiti informacije iz dugotrajne memorije, kao što sam to radio s ruskim jezikom.kada sam ih zamijenio u formuli? Ako je f bilo veliko, a a malo, kako je to utjecalo na m? Kako su se dijelovi jednakosti uklopili? Igranje s jednakošću bilo je poput konjugacije glagola. Počeo sam intuitivno shvaćati da su zamagljeni obrisi jednakosti poput pjesme zasićene metaforama, u kojoj se kriju mnoge lijepe simboličke slike. Iako to u to vrijeme ne bih to nazvao, u stvari, da bih dobro savladao matematiku i znanost, morao sam polako, dan za danom, graditi snažne neuronske "blok" rutine (poput onih koje sam radio s formulom f = ma), tako da mogu lako koristiti informacije iz dugotrajne memorije, kao što sam to radio s ruskim jezikom.kako je ovo utjecalo na m? Kako su se dijelovi jednakosti uklopili? Igranje s jednakošću bilo je poput konjugacije glagola. Počeo sam intuitivno shvaćati da su zamagljeni obrisi jednakosti poput pjesme zasićene metaforama, u kojoj se kriju mnoge lijepe simboličke slike. Iako to u to vrijeme ne bih to nazvao, u stvari, da bih dobro savladao matematiku i znanost, morao sam polako, dan za danom, graditi snažne neuronske "blok" rutine (poput onih koje sam radio s formulom f = ma), tako da mogu lako koristiti informacije iz dugotrajne memorije, kao što sam to radio s ruskim jezikom.kako je ovo utjecalo na m? Kako su se dijelovi jednakosti uklopili? Igranje s jednakošću bilo je poput konjugacije glagola. Počeo sam intuitivno shvaćati da su zamagljeni obrisi jednakosti poput pjesme zasićene metaforama, u kojoj se kriju mnoge lijepe simboličke slike. Iako to u to vrijeme ne bih to nazvao, u stvari, da bih dobro savladao matematiku i znanost, morao sam polako, dan za danom, graditi snažne neuronske "blok" rutine (poput onih koje sam radio s formulom f = ma), tako da mogu lako koristiti informacije iz dugotrajne memorije, kao što sam to radio s ruskim jezikom.koja sadrži mnogo lijepih simboličkih slika. Iako to u to vrijeme ne bih to nazvao, u stvari, da bih dobro savladao matematiku i znanost, morao sam polako, dan za danom, graditi snažne neuronske "blok" rutine (poput onih koje sam radio s formulom f = ma), tako da mogu lako koristiti informacije iz dugotrajne memorije, kao što sam to radio s ruskim jezikom.koja sadrži mnogo lijepih simboličkih slika. Iako to u to vrijeme ne bih to nazvao, u stvari, da bih dobro savladao matematiku i znanost, morao sam polako, dan za danom, graditi snažne neuronske "blok" rutine (poput onih koje sam radio s formulom f = ma), tako da mogu lako koristiti informacije iz dugotrajne memorije, kao što sam to radio s ruskim jezikom.kao što sam to učinio s ruskim jezikom.kao što sam to učinio s ruskim jezikom.
Ponekad su mi učitelji matematike i prirodoslovlja govorili da su temeljni blokovi informacija duboko ugrađeni u um apsolutni temelj njihovog uspjeha. Razumijevanje ne stvara tečnost u znanju; naprotiv, tečnost gradi razumijevanje. Zapravo, vjerujem da istinsko razumijevanje složene teme proizlazi samo u uvjetima njezina slobodnog ovladavanja.
Drugim riječima, u nastavi prirodnih znanosti i matematike lako je prijeći na nastavne metode gdje je naglasak na razumijevanju, a izbjegavaju se rutinsko ponavljanje i vježbanje, koji su osnova tečnosti u predmetu. Ruski jezik nisam naučio samo zato što sam ga razumio - uostalom, razumijevanje nije tako težak zadatak, već vam lako može izmaknuti. (Što znači ruska riječ za "razumjeti"?) Naučio sam ruski, težeći tečnosti kroz vježbanje, ponavljanje i naguravanje, samo vrstu nabiranja koja je potaknula sposobnost fleksibilnog i brzog razmišljanja. Matematiku i nauku naučio sam koristeći potpuno iste principe. Jezik, matematika, prirodne znanosti, kao i gotovo sva područja ljudskog znanja, koriste iste mehanizme mozga.
Kad sam izbio u novi život, postavši inženjer elektrotehnike, a zatim profesor inženjerstva, u prošlosti sam napustio ruski jezik. No, 25 godina nakon što sam zadnji put pio sovjetsku koćaricu, moja obitelj i ja odlučili smo se provozati cijelom Rusijom transsibirskom željeznicom. Unatoč činjenici da sam se radovala ovom putovanju, o kojem sam dugo sanjala, bila sam zabrinuta. Za sve ove godine teško da sam izustio barem riječ na ruskom. Što ako sam ga potpuno zaboravio? Što su mi dale sve ove godine savladavanja tečnog jezika?
Naravno, kad smo se prvi put ukrcali na vlak, govorio sam ruski poput dvogodišnjeg djeteta. Mahnito sam tražio riječi, pogriješio u deklinaciji i konjugaciji, moj bivši gotovo savršeni izgovor pretvorio se u užasan naglasak. Ali temelji su postavljeni, a moj je ruski iz dana u dan postajao sve bolji i bolji. Ali čak i s osnovnom razinom, uspio sam se nositi sa svakodnevnim zadacima tijekom našeg putovanja. Ubrzo su mi vodiči počeli prilaziti kako bih im mogao pomoći u prevođenju za druge putnike. Napokon smo stigli u Moskvu i sjeli u taksi. Vozač će nas, kako sam ubrzo shvatio, opljačkati poput ljepljivog čovjeka - vozio nas je u potpuno suprotnom smjeru, kroz prometne gužve, očekujući da će stranci, koji ništa ne razumiju, prešutno platiti dodatni sat po cijeni. Odjednom su mi pobjegle ruske riječi,o čemu nisam govorio desetljećima. Nisam ni slutio da ih znam.
Negdje duboko u mojim mislima, moje tečno znanje jezika ostalo je i izašlo u pravom trenutku: brzo nas je izvuklo iz problema (i pomoglo pronaći drugi taksi). Tečnost omogućuje razumijevanju da postane dio svijesti i pojavljuje se kad vam zatreba.
Kad danas vidim koliko kod nas nedostaje stručnjaka za prirodne i matematičke znanosti, promatram suvremene trendove u pedagogiji, promišljajući o vlastitom putu, o saznanjima koja sam stekao o sposobnostima našeg mozga, razumijem da bismo mogli postići puno više. Kao roditelji i učitelji možemo koristiti jednostavne, pristupačne metode kako bismo produbili razumijevanje, čineći ga korisnim i fleksibilnim. Možemo pogurati druge ljude i sebe da proučavaju nove discipline koje su nam se činile preteškima - matematiku, ples, fiziku, jezik, kemiju, glazbu - otvarajući time potpuno nove svjetove za sebe i druge.
Kao što sam i sam shvatio, osnova svega je temeljno, duboko ukorijenjeno slobodno znanje matematike (a ne samo "razumijevanje"). Otvara vrata mnogim zanimljivim specijalitetima. Gledajući unatrag, razumijem da nisam trebao slijepo slijediti svoje sklonosti i interese. Dio mene koji je "slobodno" volio književnost i jezike bio je isti onaj zbog kojeg sam volio matematiku i znanost, što mi je promijenilo i obogatilo život.
